hesapla.narch.tech

Matematik · Sayı teorisi

Asal Sayı ve Asal Çarpanlara Ayırma

Tam sayı hassasiyetini koruyan BigInt motoruyla asallığı, tam ayrışımı, bölenleri, Euler φ değerini ve çoklu sayıların EBOB-EKOK sonucunu hesaplayın.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, onu yalnızca asal sayıların çarpımı olarak yazmaktır; Aritmetiğin Temel Teoremi'ne göre 1'den büyük her tam sayının bu yazılışı çarpanların sırası dışında tektir — örneğin 360 = .

Kaynaklı deterministik sınırın üzerinde kesin asallık veya tam faktörleme kanıtı bulunamazsa araç türev değer yayımlamaz ve “Kesin sonuç üretilemedi” durumu gösterir.

Hesapla

Hesaplama türü

Nokta veya boşluk binlik ayıracı olabilir: 1.000.000 ve 1 000 000 kabul edilir.

Örnek:

Sonuç

Bir sayı girip “Hesapla” düğmesine basın.

Asal çarpanlara ayırma nasıl yapılır?

  1. Sayının tam bölündüğü en küçük asal sayıyı seç.
  2. Aynı asal sayıya tam bölündüğü sürece böl ve kaç bölme yaptığını üs olarak say.
  3. Kalan 1 değilse sıradaki asal sayıyla aynı işlemi sürdür.
  4. Bulduğun asal çarpanları üsleriyle birlikte çarpım biçiminde yaz.

360 örneği, adım adım

Bölme zinciri

  1. 360 ÷ 2 = 180
  2. 180 ÷ 2 = 90
  3. 90 ÷ 2 = 45; böylece 2 üç kez kullanıldı.
  4. 45 artık tek; 45 ÷ 3 = 15 ve 15 ÷ 3 = 5.
  5. 5 asaldır. Sonuç: 360 = .

Türev sonuçlar

τ = (3+1)(2+1)(1+1) = 24

σ = 15 × 13 × 6 = 1170

φ = 360 × ½ × ⅔ × ⅘ = 96

σ − n = 1170 − 360 = 810 ve 810 > 360 olduğundan 360 bir bollu sayıdır.

Formüller ve dayanak

Aritmetiğin Temel Teoremi: 1'den büyük her tam sayı asal sayıların çarpımı olarak, çarpan sırası dışında tek biçimde yazılır. Bu ifade MIT 18.781 ders notunda Teorem 5'tir; MEB 2026 programı s. 99'da “1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde tek türlü yazılır” genellemesini verir.

Bölen sayısı ve toplamı

τ(n) = ∏ (eᵢ + 1)

Her bölen için pᵢ'nin üssü 0 ile eᵢ arasında seçilir; bağımsız seçim sayıları çarpılır.

σ(n) = ∏ ((pᵢ^(eᵢ+1) − 1) / (pᵢ − 1))

Her asal kuvvetin 1 + p + ... + pᵉ geometrik toplamları çarpılır.

Euler totient ve sayı sınıfı

φ(n) = ∏ pᵢ^(eᵢ−1) × (pᵢ − 1)

φ(n), 1 ile n arasında n ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısıdır.

uygun bölenler toplamı = σ(n) − n

Bu toplam n'ye eşitse mükemmel, küçükse eksik, büyükse bollu sayı elde edilir.

Miller–Rabin kesinlik sınırı: Sorenson ve Webster'ın ψ₁₃ sonucuna göre ilk 13 asal taban (2'den 41'e) n < 3317044064679887385961981 aralığında deterministiktir. 30 basamak desteğinin bu sınırı aşan bölümünde tanıkları geçen bir değer kesin asal sayılmaz; kesin kanıt bulunamazsa sonuç ve türev kartları yerine fail-closed durum gösterilir.

Müfredat: MEB 2026 Ortaöğretim Matematik Programı'nda 10. sınıf MAT.10.3.1 asal çarpanlar ve bölenler, MAT.10.3.2 EBOB-EKOK ilişkilerini kapsar. 2024 ortaokul programında 6. sınıf MAT.6.1.3 asal olma ve asal çarpanları işler; aynı program 6. sınıfta EBOB/EKOK adlandırmasının kullanılmayacağını açıkça belirtir.

Sık yapılan hatalar

  1. 1'i asal saymak: 1'in yalnız bir pozitif böleni vardır; asal değil, birimdir.
  2. 2'yi asal saymamak: 2, yalnız 1'e ve kendisine bölünür; tek çift asal sayıdır.
  3. 9, 15, 21, 27 veya 49'u asal sanmak: Bunlar sırasıyla biçiminde ayrılır.
  4. Bileşik çarpan bırakmak: 360 = 4 × 90 doğru bir eşitliktir fakat iki çarpan da bileşik olduğundan asal çarpanlara ayırma değildir.
  5. Bölen sayısını görünen çarpanları sayarak bulmak: Üslerin her biri bir artırılır ve sonuçlar toplanmaz, çarpılır.
  6. EBOB'da en büyük üsleri almak: EBOB ortak asalların en küçük, EKOK bütün asalların en büyük üslerini kullanır.
  7. Deneme sınırını unutmak: Bir sayı bileşikse en az bir asal çarpanı karekökünden büyük olamaz; daha ileri gereksiz tarama yapılmaz.

Sık sorulan sorular

Asal çarpanlara ayırma nasıl yapılır?

En küçük asal sayıdan başlayıp sayı tam bölündüğü sürece bölünür; her asalın kaç kez kullanıldığı üs olarak yazılır ve kalan 1 olana kadar sonraki asallarla devam edilir.

1 asal sayı mıdır?

Hayır. Asal sayının tam olarak iki pozitif böleni olmalıdır; 1'in yalnız bir pozitif böleni vardır ve 1 birim sayıdır.

Bir sayının kaç böleni olduğu nasıl bulunur?

n = p₁^e₁ × ... × pₖ^eₖ ise pozitif bölen sayısı, her üs bir artırılıp çarpılarak τ(n) = (e₁+1) × ... × (eₖ+1) biçiminde bulunur.

EBOB ve EKOK asal çarpanlarla nasıl bulunur?

EBOB için ortak asal çarpanların en küçük üsleri, EKOK için bütün asal çarpanların en büyük üsleri alınır.

En büyük asal sayı var mı?

Hayır. Asal sayılar sonsuzdur; bu nedenle en büyük asal sayı yoktur.

Mükemmel sayı nedir?

Kendisinden küçük pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan pozitif tam sayıya mükemmel sayı denir; 28 bunun bir örneğidir.

Kaynakça

  1. T.C. Millî Eğitim Bakanlığı. Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2026, s. 98–101; MAT.10.3.1 ve MAT.10.3.2.https://mufredat.meb.gov.tr/Dosyalar/2026518151640408-mated%C3%B6p.pdf
  2. T.C. Millî Eğitim Bakanlığı. Ortaokul Matematik Dersi Öğretim Programı, 2024, s. 63, 66–67; MAT.6.1.3 ve MAT.6.1.4 kapsam notları.https://mufredat.meb.gov.tr/Dosyalar/202582516434252-ortaokul%20matematik.pdf
  3. Jonathan P. Sorenson ve Jonathan E. Webster. “Strong Pseudoprimes to Twelve Prime Bases”, Mathematics of Computation, 86(304), 2017, 985–1003; Teorem 1.1, ψ₁₂ ve ψ₁₃.https://doi.org/10.1090/mcom/3134
  4. Joseph Lee ve Abhinav Kumar. MIT OpenCourseWare 18.781 Theory of Numbers, Lecture 2, Teorem 5, 2012; asal çarpanlara ayrışmanın varlığı ve tekliği.https://ocw.mit.edu/courses/18-781-theory-of-numbers-spring-2012/0ddadd3b4c7f386b2ae48a28b6f5ab47_MIT18_781S12_lec2.pdf
  5. Eric W. Weisstein. “Divisor Function”, MathWorld; τ ve σ çarpım formülleri.https://mathworld.wolfram.com/DivisorFunction.html
  6. Eric W. Weisstein. “Totient Function”, MathWorld; φ asal kuvvet ve çarpım formülleri.https://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html

Bu araç bilgilendirme amaçlıdır; sonuçlar bağlayıcı değildir. Resmî kurum hesaplamaları, sözleşmeler ve güncel mevzuat esastır; hukuki, mali, tıbbi veya yatırım danışmanlığı değildir.