Faktöriyel
n! = 1×2×…×n ve 0! = 1.
BigInt ile tam sonuç · ücretsiz · çevrimdışı
Kombinasyon, permütasyon ve faktöriyel
Yedi işlemi tek yerde hesaplayın. Büyük tam sayılar JSON'a daima string olarak aktarılır; IEEE-754 yuvarlaması sonucu değiştirmez.
Sıralama önemliyse permütasyon P(n,r)=n!/(n−r)!, önemli değilse kombinasyon C(n,r)=n!/(r!(n−r)!) kullanılır.
C(90,6) örneği hesaplanmaya hazır.
Sonuç
Hesaplama sonrasında tam değer, bilimsel gösterim, kullanılan formül ve güvenli sayı bilgisi burada görünür.
Hangi işlemi seçmelisiniz?
Önce sıranın sonucu değiştirip değiştirmediğini, sonra aynı öğenin yeniden seçilip seçilemediğini belirleyin.
| Sıra önemli mi? | Tekrar var mı? | İşlem |
|---|---|---|
| Evet | Hayır | Permütasyon P(n,r) |
| Evet | Evet | Tekrarlı permütasyon n^r |
| Hayır | Hayır | Kombinasyon C(n,r) |
| Hayır | Evet | Tekrarlı kombinasyon C(n+r−1,r) |
Formüller ve dayanakları
Aşağıdaki eşitlikler negatif olmayan tam sayılar içindir. Çok kümeli ve dairesel durumlarda belirtilen ek koşullar uygulanır.
Permütasyon
P(n,r) = n!/(n−r)!. Sıra önemlidir, tekrar yoktur.
Kombinasyon
C(n,r) = n!/(r!(n−r)!). Sıra önemli değildir, tekrar yoktur.
Tekrarlı permütasyon
n^r. r sıralı yerin her biri n seçenekten, iade ile doldurulur.
Kaynak: UC Davis, iadeli sıralı seçme
Tekrarlı kombinasyon
C(n+r−1,r). Sırasız ve iade ile seçimdir; çoklu küme sayar.
Çok kümeli permütasyon
n!/(n₁!×n₂!×…×nₖ!); tekrar adetlerinin toplamı n olmalıdır.
Dairesel permütasyon
(n−1)!. Yalnız döndürmeyle aynı olan dizilimler tek kabul edilir; n≥1.
Stirling yaklaşımı ve sayı güvenliği
log10(n!) ≈ n·log10(n/e) + 0,5·log10(2πn). Ana Stirling yaklaşımının göreli hatası O(1/n), logaritmik ilk düzeltmesi 1/(12n) mertebesindedir.
Kaynaklar: NIST DLMF §5.11 · MDN Number.MAX_SAFE_INTEGER
Türkçe konu adları MEB Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ile eşleştirilmiştir. Güncel Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli 10. sınıf içeriğindeki “sıralama sayısı” ve “seçme sayısı” karşılıkları etiketlerde parantez içinde gösterilir.
Adım adım iki örnek
Sık yapılan hatalar
- Sıra değiştiğinde farklı bir sonuç oluşup oluşmadığını belirlemeden permütasyon veya kombinasyon seçmek.
- İadeli seçimi tekrarsız seçimle karıştırmak; tekrar varsa kullanılan formül değişir.
- 0! = 1 olduğunu gözden kaçırmak.
- Büyük faktöriyelleri kayan noktalı
Numberile güvenli sanmak. 19! güvenli tam sayı sınırını aşar; 20!, 21! ve 22! tesadüfen tam temsil edilse de komşu sayılar ayırt edilemez. İlk fiilî faktöriyel dönüşüm farkı 23!'te görülür. - Dairesel dizilimde n! kullanmak; yalnız döndürmeyle eş olan düzenlerde doğru sayı (n−1)! olur.
- C(n,r) için r>n durumunu hata sanmak. Seçim yolu bulunmadığı için sonuç 0'dır; P(n,r) için aynı durum tanımsız kabul edilir.
Sık sorulan sorular
Permütasyon mu kombinasyon mu kullanmalıyım?
Bir düzenlemede sıra değişince sonuç değişiyorsa permütasyon; yalnız seçilen grup önemliyse kombinasyon kullanılır. Tekrara izin verilip verilmediğini de ayrıca belirleyin.
0! neden 1'dir?
0! = 1, boş çarpımın değerinin 1 olması ve n! = n × (n−1)! bağıntısının n=1 için tutarlı kalması nedeniyle tanımlanır.
Dairesel permütasyon neden (n−1)! olur?
Döndürmeyle elde edilen n doğrusal sıralama aynı çemberi gösterir. Bu nedenle n! doğrusal sıralama n'ye bölünür ve sonuç (n−1)! olur.
Loto benzeri bir çekilişin olasılığı nasıl hesaplanır?
n sayı arasından sırasız ve tekrarsız r sayı seçiliyorsa olası kolon sayısı C(n,r)'dir; belirli tek bir seçimin eşit olasılıklı çekilişteki olasılığı 1/C(n,r) olur. Bu yalnız matematiksel bir olasılık hesabıdır.
Çok büyük sayılarda sonuç neden başka hesap makineleriyle uyuşmayabilir?
JavaScript Number türü 2^53−1 üzerindeki tam sayıları her zaman kesin temsil edemez. Bu araç tam hesapta BigInt kullanır ve sonucu string olarak verir; böylece IEEE-754 double duyarlılık kaybı önlenir.